ZENOSPHERE

science, philosophy, and cultural menagerie

Tag Archives: Fun with Math

Fun with Math: Menggelinding tapi Tidak Bulat

Di dunia sehari-hari, kita sering melihat benda bulat, sebagai contoh roda dan bola sepak. Benda bulat mempunyai keunikan: apabila didorong dia tidak cuma bergeser, melainkan juga berputar. Secara umum geraknya disebut “menggelinding”.

Nah, tapi ada yang menarik.

Biarpun gerak menggelinding sering diasosiasikan dengan lingkaran, ternyata ada juga bentuk lain yang bisa melakukannya. Namanya segitiga Reuleaux — animasinya bisa dilihat di bawah.

[gif] segitiga reuleaux

(GIF diadaptasi dari: Youtube / Jill Britton)

Sebuah ban yang berbentuk segitiga! Luar biasa bukan? 😀 Sebagaimana bisa dilihat pergerakannya mirip dengan ban biasa, cuma bentuknya yang berbeda.

Nah, ditinjau secara matematika, segitiga Reuleaux di atas termasuk dalam keluarga “bangun berlebar konstan”, atau dalam bahasa Inggrisnya curves of constant width. Bangun jenis ini mempunyai keistimewaan: diputar bagaimanapun diameternya tidak berubah. Makanya dapat menggelinding dengan stabil. Jika kita tumpangkan papan, seperti dalam animasi, maka takkan bergoyang-goyang naik dan turun.

Contoh-contoh bangunnya bisa dilihat sebagai berikut.

[img] poligon reuleaux

(image credit: Wikimedia Commons)

Tentunya sampai di sini timbul pertanyaan. Telah disebut bahwa bangun-bangun di atas mempunyai diameter yang tetap. Akan tetapi mereka bukan lingkaran. Jika bukan lingkaran… mengapa diameternya bisa tetap?

Klik untuk melanjutkan »

Iklan

Fun with Math: Tetris dan Polyomino

Siapa yang tidak tahu Tetris? Sebagai pengisi waktu game ini sangat populer, bahkan bisa dibilang legendaris. Hampir semua orang tahu tujuh buah bentuk yang mesti dicegah memenuhi layar.

[img] Tetris blocks

Penampakan balok Tetris

(image credit: Wikimedia Commons)

Jika kita perhatikan, ada kesamaan mendasar pada bangun-bangun di atas. Masing-masing terdiri atas empat buah persegi yang saling menempel. Biarpun bentuknya bervariasi namun tak ada yang “melanggar aturan”.

Nah, di dunia matematika, terdapat penjelasan untuk sifat bangun mirip Tetris. Didefinisikan sebagai berikut. Apabila sejumlah persegi saling menempel membentuk bangun baru, maka bangun itu disebut polyomino.

Mengapa namanya polyomino? Karena merupakan gabungan dua buah kata, “poly” (banyak) + “domino”. Sebagaimana kartu domino dibagi oleh dua area persegi, demikian pula polyomino dibagi oleh banyak area persegi. 😀 Berangkat dari situ para ahli kemudian mengelompokkan bangun berdasarkan jumlah persegi di dalamnya.

Apabila mengandung tiga buah persegi, maka disebut tromino (3-omino). Apabila empat disebut tetromino (4-omino). Jika lima disebut pentomino (5-omino)… dan seterusnya.

Sebagian ilustrasinya bisa dilihat di bawah ini:

[img] contoh polyomino

Keluarga polyomino (n-omino) untuk n = {1, 2, …, 5}

(image credit: Wolfram MathWorld)

Namun perlu dicatat bahwa gambar di atas tidak mencantumkan simetri. Dalam hal ini yang ditinjau adalah strukturnya. Oleh karena itu, dalam grup tetromino, hanya terdapat lima buah bangun Tetris. (dua sisanya hasil pencerminan balok L dan Z tidak dimasukkan)

Adapun secara matematik terdapat sifat menarik dari polyomino. Salah satunya tidak jauh dari permainan Tetris, yaitu masalah penyusunan (packing). Bagaimana caranya menyusun balok sedemikian rupa sehingga tak ada yang bolong?

Klik untuk melanjutkan »

Fun with Math: Bangun Ruang Platonik

Di dunia matematika, terdapat sebuah keluarga bangun ruang (tiga dimensi) yang disebut “Bangun Ruang Platonik”. Dalam bahasa Inggris disebut Platonic Solid. Bangun ruang jenis ini mempunyai keistimewaan, yaitu:

  1. Semua permukaannya berbentuk sama
  2. Semua rusuknya sama panjang
  3. Semua sudut permukaannya sama besar

Semua itu dengan syarat bangunnya harus “gembung”, dalam artian tidak mengerut ke dalam. Atau dalam bahasa matematikanya, bersifat konveks.

    (contoh bangun yang tidak gembung: di sini)

Mengapa dinamai “Bangun Ruang Platonik”? Karena secara khusus disebut oleh filsuf Yunani, Plato, dalam buku berjudul Timaeus. Dalam buku tersebut Plato mempopulerkan lima buah bangun yang dianggap ‘sempurna’ di dunia Yunani Kuno — mengacu pada ciri keseragaman yang sudah disebut di atas.

Seperti apa bangun-bangunnya? Akan segera kita lihat. Meskipun begitu, karena berbentuk tiga dimensi, tidak bisa ditampilkan lewat gambar biasa, jadi harus lewat animasi.

Yang pertama adalah tetrahedron. Bangun ini mempunyai empat buah permukaan yang sama persis, yaitu berbentuk segitiga sama sisi. Namanya berasal dari bahasa Yunani: “tetra” = “empat” ; “hedron” = “bangun / sisi permukaan”.

[img] animasi tetrahedron

Animasi penampakan tetrahedron
Sudut permukaan: 60°

(gambar dari Wikimedia Commons)

Klik untuk melanjutkan »

Fun with Math: Ubin dan Bidang Berulang

Dalam tulisan beberapa waktu lalu, kita sedikit mengulas teknik pengubinan geometri Islam, atau lebih tepatnya, yang berasal dari Iran/Persia. Dengan menggunakan satu set ubin pola yang rumit dapat dibuat. Pola itu lalu diteruskan sehingga dapat memenuhi ruang.

[img] Girih comparison

Madrasah Al-Mustansiriyya di Baghdad

(gambar oleh Lu & Steinhardt, 2007)

Biarpun sekilas rumit tetapi bisa dipecah jadi komponen-komponen sederhana. There’s something intriguing about that.

Soal pengubinan sendiri tak lepas dari matematika. Ahli matematika Keith Devlin pernah menulis bahwa “Mathematics is the science of patterns”. Maksudnya matematika bisa dipakai menjelaskan pola apapun di alam. Mulai dari pola geometri, pola statistik, hingga yang rada abstrak seperti pola pikir bisa dimodelkan dengannya. Kemudian tentu kita bertanya, karena pengubinan juga mempunyai pola, dapatkah dijelaskan dengan matematika?

Jawabannya… ya, bisa. 😆 Malah lebih hebat lagi. Percaya tidak percaya, ada satu area matematika yang khusus membahas pengubinan, yaitu teselasi.

Layaknya bidang ilmu, teselasi mempunyai istilah dan aturan main tersendiri. Sebagian akan kita singgung di tulisan ini. Meskipun begitu, harus diingat bahwa tulisan ini bersifat pengenalan, populer, dan tidak membahas dalam-dalam — atau dengan kata lain cuma sekilas info. 😛 Ya iyalah. Kalau mau komplit harus baca buku

Sekarang saya mau masuk ke pokok bahasan.

Biasanya, kalau menyebut ubin, yang terlintas adalah bentuk. Sering ada ubin segitiga atau segiempat; seorang tukang lalu mengombinasikan keduanya. Meskipun demikian ada juga cara pandang lain. Tidak hanya fokus pada bentuk, ahli matematika juga bisa menganalisis lewat titik temu antar-ubin. Atau dalam bahasa teknisnya disebut vertex.

Eh tapi tunggu dulu. Sebenarnya, apa itu vertex?

Klik untuk melanjutkan »

Fun with Math: Lingkaran dalam Lingkaran

Waktu saya masih SD dulu, ada sebuah mainan yang cukup populer, melibatkan penggaris berlubang dan roda gigi. Namanya adalah spirograf, dan fotonya bisa dilihat di bawah ini.

[img] Spirograf

Penampakan sebuah spirograf. Ada yang ingat?

(image credit: Wikimedia Commons)

Adapun cara mainnya cukup sederhana. Ujung pensil dimasukkan ke roda gigi, lalu roda gigi diputar-putar mengikuti bentuk lingkaran. Torehan pensil menggambarkan pola pergerakan di atas kertas. Dari situ terbentuk pola ornamen yang rumit.

[img] Pola spirograf

Contoh pola yang dihasilkan spirograf

(image credit: Wikimedia Commons)

Nah, proses kerja spirograf itu mempunyai padanan di dunia matematika. Sebuah lingkaran berputar dalam lingkaran, maka dia menghasilkan pola baru yang menarik. Pola itu kemudian diwujudkan berbentuk grafik.

Menariknya, semua berawal dari peristiwa yang umum: sebuah lingkaran menggelinding di garis lurus.

Klik untuk melanjutkan »

Fun with Math: Berkenalan dengan Fraktal

Sambil memulai tulisan ini, mari kita gambar sebuah segitiga.

[fracdraw-1]

(Wikimedia Commons)

Lalu di setiap sisi segitiga itu, kita tambahkan bentuk segitiga yang sama. (Ukuran dibuat lebih kecil)

[fracdraw-2]

(Wikimedia Commons)

Proses ini terus kita ulangi. Di setiap sisi kita tambahkan segitiga lagi…

[fracdraw-3]

(Wikimedia Commons)

…dan lagi…

[fracdraw-4]

(Wikimedia Commons)

…dan lagi. Hasil akhirnya akan jadi seperti berikut:

[fracdraw-5]

(Wikimedia Commons)

Dari yang tadinya cuma segitiga, kini jadi bentuk yang kompleks. Bentuk ini seolah mirip bunga salju yang mendetail. Hebat bukan? 😀

Nah, yang baru kita gambar di atas itu disebut sebagai fraktal. Fraktal adalah bentuk geometri yang dibangun lewat instruksi sederhana tapi berulang. Semakin banyak perulangan maka semakin detail gambar yang dihasilkan.

Klik untuk melanjutkan »