ZENOSPHERE

science, philosophy, and cultural menagerie

Fun with Math: Menggelinding tapi Tidak Bulat

Di dunia sehari-hari, kita sering melihat benda bulat, sebagai contoh roda dan bola sepak. Benda bulat mempunyai keunikan: apabila didorong dia tidak cuma bergeser, melainkan juga berputar. Secara umum geraknya disebut “menggelinding”.

Nah, tapi ada yang menarik.

Biarpun gerak menggelinding sering diasosiasikan dengan lingkaran, ternyata ada juga bentuk lain yang bisa melakukannya. Namanya segitiga Reuleaux — animasinya bisa dilihat di bawah.

[gif] segitiga reuleaux

(GIF diadaptasi dari: Youtube / Jill Britton)

Sebuah ban yang berbentuk segitiga! Luar biasa bukan?😀 Sebagaimana bisa dilihat pergerakannya mirip dengan ban biasa, cuma bentuknya yang berbeda.

Nah, ditinjau secara matematika, segitiga Reuleaux di atas termasuk dalam keluarga “bangun berlebar konstan”, atau dalam bahasa Inggrisnya curves of constant width. Bangun jenis ini mempunyai keistimewaan: diputar bagaimanapun diameternya tidak berubah. Makanya dapat menggelinding dengan stabil. Jika kita tumpangkan papan, seperti dalam animasi, maka takkan bergoyang-goyang naik dan turun.

Contoh-contoh bangunnya bisa dilihat sebagai berikut.

[img] poligon reuleaux

(image credit: Wikimedia Commons)

Tentunya sampai di sini timbul pertanyaan. Telah disebut bahwa bangun-bangun di atas mempunyai diameter yang tetap. Akan tetapi mereka bukan lingkaran. Jika bukan lingkaran… mengapa diameternya bisa tetap?

 
Mengadaptasi Busur
 

Untuk menjelaskannya, ada baiknya jika langsung ke ilustrasi. Kita mulai dari contoh yang paling simpel, yaitu yang mirip segitiga (segitiga Reuleaux).

Pada dasarnya segitiga Reuleaux bisa dibuat dari segitiga samasisi. Meskipun begitu terdapat sebuah tambahan.

[img] segitiga reuleaux vs. segitiga samasisi

(image adapted from: Paul Kunkel / Whistler Alley Mathematics)

Mulai dari titik A, kita tancapkan sebuah jangka. Kemudian dengan jangka tersebut kita gariskan lengkung menghubungkan B dan C. Busur ini kita beri nama a.

Kemudian kita ulangi prosesnya untuk titik B dan C, sedemikian hingga hasil akhirnya seperti di bawah.

[img] membuat segitiga Reuleaux

(image adapted from: Wikimedia Commons)

Nah, kira-kira begitulah cara membuat segitiga Reuleaux. Awalnya segitiga samasisi biasa — namun dengan bantuan jangka maka bisa terbentuk.😀

Sekarang kita perhatikan segitiga Reuleaux di atas. Karena kita menggunakan jangka, maka jarak dari titik A ke busur a (radius) selalu sama. Demikian pula titik B ke busur b, dan titik C ke busur c.

Kemudian kita lihat bentuk sisinya yang melengkung. Sisi lengkung itu membuat dia bisa menggelinding.

Di sinilah kita paham mengapa segitiga Reuleaux bisa menggelinding bagai roda. Dia memang tak jauh beda dengan lingkaran — sama-sama bersisi lengkung, dan sama-sama berdiameter konstan!😮

 
Bentuk-bentuk Lainnya
 

Bisa ditebak, prinsip pembuatan segitiga Reuleaux di atas dapat diterapkan ke berbagai bangun lain. Meskipun begitu ada syaratnya: harus bersegi ganjil. Sebagai contoh misalnya segilima atau segitujuh.

[img] 5-gon dan 7-gon Reuleaux

Segilima dan segitujuh dimodifikasi menggunakan jangka

(image credit: Ivars Peterson)

Yang juga menarik adalah membuat bangun berlebar konstan berdasarkan bentuk bintang. Prinsipnya sama, yaitu menggunakan jangka menghubungkan sudut-sudut bintang. Bentuk bintangnya tak harus beraturan — bisa saja mencong ke sana-sini. Namun ada dua syaratnya, yaitu: (1) jumlah seginya ganjil, dan (2) panjang rusuk bintangnya seragam.

[img] constant width curves from stars

Dua bintang di atas agak berbeda — tetapi hasilnya sama-sama constant width curves

(image credit: A. Bogomolny & Wikimedia Commons)

Namun ada lagi yang lebih mencengangkan. Kita bisa menciptakan bangun berlebar konstan — yang diameternya selalu sama — dengan garis-garis sesuka kita. Berapa jumlah garisnya terserah, miringnya seperti apa juga terserah. Syaratnya cuma satu, yakni seluruh garisnya harus saling memotong.

Mengapa harus saling memotong? Karena kita perlu titik untuk menancapkan jangka. Kalau tidak ada, ya, tak bisa digambar.😆

Ilustrasi pembuatannya di bawah ini. Pertama-tama kita tancapkan jangka di titik pertemuan dua garis. Kemudian dua garis tersebut kita sambungkan berbentuk lengkung. Ketika berpindah ke titik lain, sesuaikan radius jangka, supaya lengkungnya tetap bersambung dengan sebelumnya.

[img] constant width curve from intersecting lines

Ilustrasi: tiga langkah pertama ditunjukkan; kemudian hasil akhir

(image credit: D. Taimina & D.W. Henderson, Cornell University)

Jika dilihat sekilas, gambar di atas kacau, tapi sebenarnya tidak juga. Ada aturan samar yang berlaku di baliknya. Sedemikian hingga sesudah prosesnya selesai, muncul sebuah bangun yang berdiameter konstan.

Eh, tapi benarkah begitu? Coba dipastikan dengan penggaris…😕

 
Dilanjutkan ke Tiga Dimensi
 

Nah, menyikapi sifatnya yang mirip roda (biarpun ada bedanya juga), beberapa orang tertarik mengadaptasi bangun berlebar konstan ke dunia tiga dimensi. Salah satunya adalah matematikawan Jerman bernama Ernst Meissner.

Meissner menemukan bahwa dengan sedikit modifikasi, prinsip pembuatan segitiga Reuleaux bisa diterapkan di dunia tiga dimensi. Hasilnya adalah bangun ruang yang diameternya selalu konstan — jadi tidak jauh beda dengan bola. Namanya adalah Meissner Tetrahedron.

[img] Meissner Tetrahedron

(image credit: T. Lachand-Robert & É. Oudet)

Ada juga cara yang lebih straightforward membuatnya. Kita sudah tahu bahwa segitiga Reuleaux (dan kawan-kawannya) bersifat mirip lingkaran. Sebuah lingkaran, jika dirotasi mengikuti sumbu, akan menjadi bola. Sementara itu bola dapat menggelinding di dalam ruang.

Jadi kalau kita ingin membuat bangun ruang yang bisa menggelinding…

[img] rotasi poligon Reuleaux

(image credit: Christof Weber)

…tinggal dibuat saja rotasi mengikuti sumbu. Iya kan? Lingkaran dirotasi menjadi bola, diameternya sama dalam tiga dimensi. Segitiga Reuleaux dan teman-temannya mirip lingkaran, maka mereka juga begitu.😆

Sebagian pembaca mungkin tidak yakin, apa iya bangun-bangun terakhir di atas bisa menggelinding dengan mulus? Oleh karena itu berikut ini akan kita lihat videonya.

Ternyata… memang bisa! Ajaib bukan?😉

 
Penutup
 

Seperti biasa di seri tulisan ini, saya harus menyebut bahwa penjelasan di atas sangat menyederhanakan dan tidak teknis. Boleh dibilang sama sekali tidak rigorous — meskipun begitu mudah-mudahan cukup efektif menyampaikan materi.

Intinya sendiri sederhana. Sering kali ada hal-hal di dunia matematika yang bertentangan dengan keyakinan umum, sepertinya kok mustahil, tapi setelah diteliti… ternyata bener loh.😆 Yang semacam ini membuat orang merasa lebih fun dan tertarik mempelajarinya.

Kalau katanya Hamlet, “more things in heaven and earth than are dreamt of in our philosophy.” Yah, sedikit-sedikit kejutan bagus juga untuk membuat kita rendah hati.😆

 

 

——

Pustaka:

 
Gardner, M. (1963). Curves of Constant Width, One of which Makes it Possible to Drill Square Holes. Scientific American 208, 148–156.

Lachland-Robert, T. & Oudet, E. (2007). Bodies of constant width in arbitrary dimension. Mathematische Nachrichten 280(7), 740-750. doi:10.1002/mana.200510512

Weisstein, Eric W. “Reuleaux Triangle.” From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ReuleauxTriangle.html

One response to “Fun with Math: Menggelinding tapi Tidak Bulat

Posting komentar. Apabila tidak muncul, ada kemungkinan tersaring filter spam. Harap tunggu pemilik blog untuk mengecek dan melepaskan.

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: