ZENOSPHERE

science, philosophy, and cultural menagerie

Fun with Math: Bangun Ruang Platonik

Di dunia matematika, terdapat sebuah keluarga bangun ruang (tiga dimensi) yang disebut “Bangun Ruang Platonik”. Dalam bahasa Inggris disebut Platonic Solid. Bangun ruang jenis ini mempunyai keistimewaan, yaitu:

  1. Semua permukaannya berbentuk sama
  2. Semua rusuknya sama panjang
  3. Semua sudut permukaannya sama besar

Semua itu dengan syarat bangunnya harus “gembung”, dalam artian tidak mengerut ke dalam. Atau dalam bahasa matematikanya, bersifat konveks.

    (contoh bangun yang tidak gembung: di sini)

Mengapa dinamai “Bangun Ruang Platonik”? Karena secara khusus disebut oleh filsuf Yunani, Plato, dalam buku berjudul Timaeus. Dalam buku tersebut Plato mempopulerkan lima buah bangun yang dianggap ‘sempurna’ di dunia Yunani Kuno — mengacu pada ciri keseragaman yang sudah disebut di atas.

Seperti apa bangun-bangunnya? Akan segera kita lihat. Meskipun begitu, karena berbentuk tiga dimensi, tidak bisa ditampilkan lewat gambar biasa, jadi harus lewat animasi.

Yang pertama adalah tetrahedron. Bangun ini mempunyai empat buah permukaan yang sama persis, yaitu berbentuk segitiga sama sisi. Namanya berasal dari bahasa Yunani: “tetra” = “empat” ; “hedron” = “bangun / sisi permukaan”.

[img] animasi tetrahedron

Animasi penampakan tetrahedron
Sudut permukaan: 60°

(gambar dari Wikimedia Commons)

Yang kedua disebut oktahedron. Lagi-lagi bidang permukaannya segitiga sama sisi, namun bedanya, dia mempunyai delapan bidang. (bahasa Yunani: “okta” = “delapan”)

[img] animasi oktahedron

Animasi penampakan oktahedron
Sudut permukaan: 60°

(gambar dari Wikimedia Commons)

Nah, sekarang kita masuk yang agak familiar. Sehari-hari kita menyebutnya “kubus” — mempunyai enam buah bidang persegi. Meskipun begitu, mengikut kaidah penamaan Yunani, namanya adalah hexahedron. (bahasa Yunani: “hexa” = “enam”)

[img] animasi kubus (hexahedron)

Animasi penampakan kubus (hexahedron)
Sudut permukaan: 90°

(gambar dari Wikimedia Commons)

Bangun keempat jarang terlihat di dunia nyata, meskipun begitu dia mempunyai ciri khas: seluruh bidangnya berbentuk segilima. Sekilas mengingatkan bentuk bola sepak. Jumlah bidang permukaannya 12 — oleh karena itu disebut dodekahedron. (bahasa Yunani: “dodeka” = “duabelas”)

[img] animasi dodekahedron

Animasi penampakan dodekahedron
Sudut permukaan: 108°

(gambar dari Wikimedia Commons)

Bangun kelima, sekaligus terakhir, mempunyai dua puluh bidang yang semuanya segitiga sama sisi. Sangat jauh mengalahkan yang lain.😮 Namanya adalah icosahedron, lagi-lagi mengacu pada bahasa Yunani. (“icosa” = “dua puluh”)

[img] animasi icosahedron

Animasi penampakan icosahedron
Sudut permukaan: 60°

(gambar dari Wikimedia Commons)

Nah, kira-kira seperti itulah penampakan Bangun Ruang Platonik. Sebagaimana bisa dicek lewat gambar, mereka mengikuti ketentuan yang sudah digariskan. Semua rusuknya sama panjang, semua sudutnya sama besar, dan semua permukaannya berbentuk sama. Menarik bukan?😀

Pun demikian, yang di atas itu baru sebagian. Ditinjau secara matematik, terdapat banyak ciri ‘ajaib’ lain sehubungan dengan Bangun Ruang Platonik. Sebagian di antaranya akan kita uraikan di bawah ini.

 
Bangun Ruang Platonik: Berhubungan dengan Bola
 

Di awal tadi, kita sudah melihat definisi (longgar) dari Bangun Ruang Platonik. Meskipun begitu, kalau sekadar definisi, kadang intuisinya tidak dapat — jadi akan saya coba jelaskan secara visual.

Pada dasarnya, Bangun Ruang Platonik dapat dijelaskan menggunakan bola. Pertama-tama kita bayangkan sebuah bola berbentuk padat. Bola padat itu kemudian kita papas di tiap sisi, sedemikian hingga tidak lagi bulat, melainkan jadi berpermukaan datar.

Kalau hendak diilustrasikan, kira-kira seperti di bawah ini:

[img] dodekahedron-bola

Ilustrasi: Dodekahedron dalam bola.
Perhatikan bahwa semua titik sudut terletak di kulit bola.

(gambar dari Wikimedia Commons)

Menjadi jelas lewat gambar di atas, dodekahedron bisa didapat dengan memapas bagian-bagian bola yang berlebih. Makanya di awal tadi saya menyebut dodekahedron “sekilas mengingatkan bentuk bola sepak”. Ya iyalah — wong asalnya dari bola dipotong-potong.😆

Perhatikan bahwa semua titik sudut dodekahedron berada di kulit bola. Titik-titik sudut itu jadi penentu pemotongan. Apabila kita tandai titik-titik dengan spidol, lalu kita keruk bola padat mengikutinya — maka akan terbentuk dodekahedron.

Nah, prinsip di atas itu berlaku untuk semua Bangun Ruang Platonik. Baik yang sederhana seperti tetrahedron, hingga yang ruwet seperti icosahedron. Semua bisa dibuat dengan memotong bola. Mengenai hal ini bisa dibuktikan lewat eksperimen.

Siapapun yang punya lilin malam di rumah, bisa coba mempraktekkan. Misalnya kita hendak membuat kubus (hexahedron). Maka instruksinya:

  1. Bentuk lilin malam seperti bola
  2. Tandai 8 buah titik sudut (kubus) secara merata
  3. Potong hati-hati dengan penggaris — jangan sampai ada titik yang terbuang
  4. Voilà!😉

In a way, di dalam setiap bola, “terkandung” Bangun Ruang Platonik di dalamnya — hanya belum terlihat. Sebenarnya ini pernyataan matematik. Namun entah kenapa terdengar filosofis…❓

 
Lebih Lanjut: Jaring Pengubinan
 

Beberapa waktu lalu, di blog ini, kita sempat membahas tentang pengubinan (atau nama lainnya “teselasi”). Percaya tidak percaya, topik itu berhubungan dengan Bangun Ruang Platonik.

Kita tahu, sewaktu SD dulu, kubus bisa diuraikan jadi jaring-jaring kubus, yaitu enam persegi yang saling menempel. Begitu pula dengan Bangun Ruang Platonik lain — mereka bisa ‘dibuka’ jadi untaian bangun datar.

[img] platonic solid dan jaring

Jaring-jaring Bangun Ruang Platonik

(gambar dari Wikimedia Commons [1], [2])

Nah, jaring-jaring di atas bisa dianalisis lewat pengubinan. Namun ada bedanya: jika di posting lalu kita bicara pengubinan bidang datar, di sini kita bicara tentang pengubinan mengikuti bentuk bola.

Eh, tunggu sebentar. Pengubinan berbentuk bola? Apa pula itu?😕

Soal ini lebih baik dijelaskan lewat analogi. Bayangkan diri kita seekor semut yang berjalan di atas kubus, berputar-putar tanpa akhir.

Dari sudut pandang semut, dia melihat ubin persegi. Kemudian jika berjalan, ketemu persegi lagi. Belok kiri atau kanan pun ketemu persegi lagi. Seolah-olah dia berjalan di bidang 1-uniform 1-hedral tak-hingga!😮 Padahal sebenarnya tidak. Namun karena dibentuk melingkar-mengikuti-bola jadinya seperti itu.

Nah, demikianlah hubungannya bangun ruang dengan pengubinan. Kombinasi bentuk permukaan bagaikan susun-rangkai ubin. Khusus Bangun Ruang Platonik, “pengubinannya” bersifat 1-uniform 1-hedral.

Di titik ini mungkin timbul pertanyaan: bagaimana kalau 2-uniform atau 2-hedral? Seperti apa bangun ruangnya? Well, soal itu ada ceritanya lagi, dan sangat panjang. Jadi sebaiknya tak kita bahas di sini.😛

Meskipun begitu saya beri sedikit bocoran: untuk pengubinan 1-uniform 2-hedral, bangun ruangnya disebut Archimedean. Satu contohnya saya tunjukkan di bawah ini — ingat baik-baik, ini tidak ada hubungannya dengan pokok bahasan. Murni sekilas info!😈

[img] Cuboctahedron + Jaring

Contoh Bangun Ruang Archimedean: Cuboctahedron + jaring pengubinan
(1-uniform 2-hedral)

(gambar dari Wikimedia Commons [1], [2])

Lebih lanjut tentang bangun Archimedean, silakan cari tahu sendiri. Mudah-mudahan sih pembaca tertarik. Kalau tidak, ya, tidak apa-apa.😛

 
Batas Penciptaan
 

Nah, sekarang kita kembali ke pokok bahasan.

Adalah menarik bahwa, biarpun aturannya sederhana, ternyata jumlah Bangun Ruang Platonik sangat terbatas. Apabila kita hendak menciptakan bangun ruang yang bersifat Platonik — dalam arti rusuknya sama, permukaannya sama, dan sudutnya juga sama — maka hanya ada lima bentuk tiga dimensi yang mungkin. Yang mana kelima-limanya sudah kita lihat bersama.

Soal ini lagi-lagi mengingatkan pada pengubinan. Sebagaimana tidak sembarang ubin dapat menciptakan pola berulang, demikian pula dengan Bangun Ruang Platonik. Tidak semua bentuk dapat menghasilkan bangun ruang yang rusuknya sama, permukaannya sama, dan sudutnya sama besar.

Mengenai detailnya, sebenarnya saya ingin membahas, tapi kok ya ribet kalau menggunakan teks. Untungnya saya ketemu video bagus yang menjelaskan, jadi bisa lepas tangan. Selanjutnya saya serahkan pada mbakyu di bawah.😆

Mengapa Bangun Ruang Platonik hanya ada lima? Itu karena, eh karena…

Ini video bagus. Camkan baik-baik!! (=3=)/

 
Penutup
 

Mengakhiri tulisan ini, seperti biasa, saya harus memberi disclaimer: Semua yang dijelaskan di atas bersifat menyederhanakan dan tidak rigorous. Memang sifatnya sendiri bukan treatise yang detail, melainkan sekadar perkenalan. Meskipun begitu mudah-mudahan tetap efektif menyampaikan materi.

Sekadar informasi, Bangun Ruang Platonik sendiri bukanlah satu-satunya keluarga bangun ruang; masih banyak yang lain. Beberapa contoh misalnya Archimedean, Catalan, dan Kepler-Poinsot. Semua terdiri atas bangun-bangun tiga dimensi yang mempunyai aturan tersendiri.

Kadang bentuk bangunnya gembung, mengikuti bola seperti yang sudah kita bahas. Meskipun begitu ada juga yang mengerut dan berbentuk bintang. Ada juga yang mirip prisma. Pada dasarnya, keluarga bangun yang berbeda mempunyai aturan yang berbeda, dan itu tercermin lewat keragaman yang dihasilkan.

Berangkat dari ketentuan masing-masing, bangun-bangun ‘ajaib’ bermunculan, menunjukkan kekayaan dunia matematika. Benar-benar menarik!🙂 Soal itu mungkin kapan-kapan kita bahas. Barangkali. Yah, kalau sayanya sempat dan sedang mood…😆

 

——

Referensi:

 
Coxeter, H.S.M. (1948). Regular Polytopes. London: Methuen & Co.

Cromwell, P.R. (1997). Polyhedra. Cambridge: Cambridge University Press.

2 responses to “Fun with Math: Bangun Ruang Platonik

  1. christin Oktober 28, 2014 pukul 12:14 pm

    bola gak termasuk ruang platonik ya? apakah karena tidak bersisi datar sehingga dia tidak bersudut di permukaan?

  2. sora9n Oktober 28, 2014 pukul 3:32 pm

    @ christin: Secara definisi ga termasuk, soalnya bola bukan polyhedra. Polyhedra = bermuka datar, rusuk tegak, dsb. (selanjutnya di link)

    Nah, Bangun Ruang Platonik itu subset dari polyhedra. Jadi kalau bukan polyhedra, maka bukan Platonik. ^^b

    apakah karena tidak bersisi datar sehingga dia tidak bersudut di permukaan?

    Yup, antara lain.🙂

Posting komentar. Apabila tidak muncul, ada kemungkinan tersaring filter spam. Harap tunggu pemilik blog untuk mengecek dan melepaskan.

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: