ZENOSPHERE

science, philosophy, and cultural menagerie

Fun with Math: Ubin dan Bidang Berulang

Dalam tulisan beberapa waktu lalu, kita sedikit mengulas teknik pengubinan geometri Islam, atau lebih tepatnya, yang berasal dari Iran/Persia. Dengan menggunakan satu set ubin pola yang rumit dapat dibuat. Pola itu lalu diteruskan sehingga dapat memenuhi ruang.

[img] Girih comparison

Madrasah Al-Mustansiriyya di Baghdad

(gambar oleh Lu & Steinhardt, 2007)

Biarpun sekilas rumit tetapi bisa dipecah jadi komponen-komponen sederhana. There’s something intriguing about that.

Soal pengubinan sendiri tak lepas dari matematika. Ahli matematika Keith Devlin pernah menulis bahwa “Mathematics is the science of patterns”. Maksudnya matematika bisa dipakai menjelaskan pola apapun di alam. Mulai dari pola geometri, pola statistik, hingga yang rada abstrak seperti pola pikir bisa dimodelkan dengannya. Kemudian tentu kita bertanya, karena pengubinan juga mempunyai pola, dapatkah dijelaskan dengan matematika?

Jawabannya… ya, bisa.πŸ˜† Malah lebih hebat lagi. Percaya tidak percaya, ada satu area matematika yang khusus membahas pengubinan, yaitu teselasi.

Layaknya bidang ilmu, teselasi mempunyai istilah dan aturan main tersendiri. Sebagian akan kita singgung di tulisan ini. Meskipun begitu, harus diingat bahwa tulisan ini bersifat pengenalan, populer, dan tidak membahas dalam-dalam — atau dengan kata lain cuma sekilas info.πŸ˜› Ya iyalah. Kalau mau komplit harus baca buku

Sekarang saya mau masuk ke pokok bahasan.

Biasanya, kalau menyebut ubin, yang terlintas adalah bentuk. Sering ada ubin segitiga atau segiempat; seorang tukang lalu mengombinasikan keduanya. Meskipun demikian ada juga cara pandang lain. Tidak hanya fokus pada bentuk, ahli matematika juga bisa menganalisis lewat titik temu antar-ubin. Atau dalam bahasa teknisnya disebut vertex.

Eh tapi tunggu dulu. Sebenarnya, apa itu vertex?

 
Berkenalan dengan Vertex: Titik Pertemuan
 

Di dunia matematika, istilah ini cukup sering disebut. Meskipun terkesan canggih namun pengertiannya simpel. Vertex dalam bahasa Indonesia berarti “titik pertemuan”.

Sewaktu SD kita belajar tentang kubus. Kalimat yang umum adalah sebagai berikut:

Sebuah kubus mempunyai enam sisi, duabelas rusuk, dan delapan titik sudut

[img] kubus

(image credit: Wikimedia Commons)

Nah, “titik sudut” yang disebut di atas tergolong vertex. Dia merupakan titik pertemuan berbagai rusuk dan sisi. Sebagaimana bisa dilihat, tiap vertex kubus mempertemukan tiga buah rusuk dan tiga buah sisi.

Kembali ke topik pengubinan…

Salah satu trik menjelaskan pengubinan adalah notasi vertex. Prinsipnya sederhana: lihat satu titik, dan catat bangun apa saja yang berkumpul. Dari situ akan terlihat pola interaksi bentuk yang berbeda. Adapun notasinya berbentuk angka dengan format “a.b.c.d”.

Misalnya contoh berikut, menggambarkan pertemuan tiga segitiga dan dua persegi.

[img] vertex example

(image credit: Wikimedia Commons)

 

    Bagaimana membuat notasi vertex?
     

  • Pilih ubin untuk memulai
    (contoh: persegi di kanan atas)
  •  

  • Dari situ bergerak searah jarum jam. Apa saja bentuknya?
    (persegi, segitiga, segitiga, persegi, segitiga)
  •  

  • Ubah jadi angka. Berapa jumlah seginya?
    (4, 3, 3, 4, 3)

 

    Maka dapat ditulis notasi vertex:
        4.3.3.4.3
     
    Supaya ringkas 3.3 bisa disingkat 32, maka hasil akhirnya…
        4.32.4.3

Notasi di atas sangat fleksibel. Meskipun begitu, sebelum lanjut, saya harus memberitahu: semua yang dibahas di tulisan ini bangun sama sisi.

Oleh karena itu konfigurasi vertex seperti 36 harus dibaca “enam segitiga samasisi bertemu di satu titik”. Demikian juga 33.42 berarti “tiga segitiga samasisi bertemu dua persegi”.

Kira-kira demikian penjelasan tentang vertex. Sekarang kita akan masuk topik selanjutnya, yakni uniformitas.

 
Tentang Uniformitas (dan k-uniform)
 

Sebagaimana tersirat dari namanya, sifat uniformitas berhubungan dengan keseragaman. Meskipun begitu, daripada lama dengan pengertian, yang belum tentu juga efektif, lebih baik langsung ke ilustrasi.

Kita mulai dengan yang sederhana, yaitu ubin persegi. Hampir semua orang tahu polanya — sering terdapat di lantai rumah.

[img] ubin persegi

(image credit: Wikimedia Commons)

Kalau kita perhatikan, setiap vertexnya mempertemukan empat buah persegi. Oleh karena itu dapat ditulis konfigurasinya 44.

Sekarang mari kita pastikan, apakah ada vertex yang konfigurasinya di luar 44? Ternyata tidak ada.

Oleh karena itu dapat kita nyatakan: pola pengubinan di atas bersifat seragam (uniform) pada konfigurasi vertex 44.

Lewat penjelasan di atas jadi jelas prinsip uniformitas: dia ditentukan oleh konfigurasi vertex. Karena dalam ilustrasi kita hanya perlu 1 (satu) konfigurasi untuk seluruh bidang, maka secara matematika, dapat disebut 1-uniform.

* * *

Nah, tapi ada masalah.

Kita tahu ubin rumah (pada umumnya) bersifat 1-uniform. Pola itu sangat sederhana. Namun di dunia sehari-hari ada banyak pola yang rumit. Belum tentu cocok dengan 1-uniform.

Misalnya contoh berikut, kombinasi dari segitiga, persegi, dan segi-12. Pola ini mengandung lebih dari satu konfigurasi vertex.

[img] 2-uniform example

(image adapted from: Wikimedia Commons)

 

    Ditandai dua buah vertex A dan B.
    Vertex A: 32.4.12
    Vertex B: 36

Percaya tidak percaya, walau terlihat rumit, seluruh pola hanya mengandung dua konfigurasi vertex. Boleh coba tes di titik manapun. Ibarat jodoh hasilnya takkan lari ke mana.:mrgreen:

Nah, karena mempunyai dua vertex yang unik, maka bidang di atas disebut 2-uniform. Demikian pula jika vertex unik berjumlah 3 maka disebut 3-uniform. Begitu seterusnya untuk angka lain.

Di titik inilah, kita menyadari sifat uniformitas bidang bisa dinyatakan lewat variabel, yaitu:

k-uniform

di mana k menyatakan jumlah konfigurasi vertex yang unik. Semakin besar nilai k maka makin banyak konfigurasi vertexnya. Otomatis, pola yang dihasilkan juga semakin rumit.

Pembaca yang penasaran ingin melihat contoh bidang k-uniform dapat berkunjung ke situs ini — di situ terdapat katalog hingga k=7. Saya sendiri tak hendak menampilkan, sebab sejujurnya, ruangnya takkan cukup.πŸ˜›

Meskipun begitu, untuk ilustrasi, bolehlah satu buah contoh (penanda vertex ditambahkan).

[img] bidang 3-uniform

Contoh bidang 3-uniform, dengan konfigurasi:
6.3.6.3 ; 3.6.42 ; 4.6.12

(image credit: Brian Galebach @ ProbabilitySports)

 
Kombinasi Ubin
 

Sejauh ini kita melihat interaksi ubin berbagai bentuk. Ada segienam bertemu segitiga, segitiga bertemu segiempat, dan sebagainya.

Nah, situasi di mana terdapat lebih dari satu bentuk ubin disebut sebagai n-hedral, mengacu bahasa Yunani hedra (“sisi permukaan”/”bangun”). Sama dengan uniformitas imbuhan n- di sini dapat diganti angka.

Apabila terdapat dua bentuk ubin disebut 2-hedral. Jika terdapat 3 disebut 3-hedral. Adapun jika hanya melibatkan satu bentuk disebut 1-hedral (monohedral).

Mengapa status n-hedral penting? Karena mempengaruhi kompleksitas desain. Ambil contoh dua pola uniformitasnya sama. Apabila angka hedralnya berbeda maka kerumitannya juga akan berbeda.

Misalnya gambar di bawah, keduanya sama-sama 1-uniform. Meskipun begitu yang kiri 1-hedral — sementara yang kanan 2-hedral.

[img] perbandingan 1-uniform

(image credit: Wikimedia Commons [1] [2])

Di sini terlihat menariknya. Biarpun uniformitas sama, ternyata desainnya beda jauh!πŸ™‚

 
Akan tetapi ada batasnya…
 

Menariknya, biarpun seolah kita bisa kreatif, menyusun dan merangkai ubin sesuka kita, ternyata ada juga batasnya. Jika harus memakai bangun beraturan — dalam arti segitiga samasisi, segienam samasisi, dst. — maka hanya ada 15 jenis konfigurasi vertex yang bisa menghasilkan pola berulang.

Sayang juga sebenarnya. Sebab biarpun kita bisa menciptakan kombinasi eksotis seperti 3.8.24 atau 3.7.42, yang semacam itu takkan bisa menciptakan pengubinan. Pada akhirnya akan terjadi bolong atau tumpang-tindih.

Seperti apa daftar selengkapnya, beserta ilustrasi, dapat dilihat di bawah ini:

15 vertex configurations

(image credit: Kevin Jardine @ Imperfect Congruence)

Mengapa hanya ada 15… well, soal itu ada penjelasannya yang pakai rumus. Meskipun begitu, seperti biasa di seri tulisan ini, kita takkan membahasnya. Silakan cari tahu sendiri kalau berminat.πŸ˜‰ (I hope you are!)

Bagaimanapun, seperti sudah disebut di awal, tulisan ini bukan treatise yang mendalam. Ibaratnya hanya sebuah pengantar. Lagipula kalaupun dibahas habis-habisan, belum tentu sayanya juga mampu.πŸ˜†

No, I wasn’t being modest. It’s annoying, complicated, seriously weird and completely… fun…

*dilempar TV*

 

 
——

Referensi:

Grunbaum, B. & Shephard, G.C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W.H. Freeman & Co.

 
Bacaan Terkait (online):

Kevin Jardine’s “Imperfect Congruence”

2 responses to “Fun with Math: Ubin dan Bidang Berulang

  1. ali sastro Agustus 27, 2014 pukul 1:36 am

    Sora aku kirim imel ya. Tolong dibaca baik-baik. Hahaha

  2. sora9n Agustus 27, 2014 pukul 4:05 pm

    @ ali sastro: Sudah dibalas.πŸ™‚

Posting komentar. Apabila tidak muncul, ada kemungkinan tersaring filter spam. Harap tunggu pemilik blog untuk mengecek dan melepaskan.

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: