ZENOSPHERE

science, philosophy, and cultural menagerie

Fun with Math: Lingkaran dalam Lingkaran

Waktu saya masih SD dulu, ada sebuah mainan yang cukup populer, melibatkan penggaris berlubang dan roda gigi. Namanya adalah spirograf, dan fotonya bisa dilihat di bawah ini.

[img] Spirograf

Penampakan sebuah spirograf. Ada yang ingat?

(image credit: Wikimedia Commons)

Adapun cara mainnya cukup sederhana. Ujung pensil dimasukkan ke roda gigi, lalu roda gigi diputar-putar mengikuti bentuk lingkaran. Torehan pensil menggambarkan pola pergerakan di atas kertas. Dari situ terbentuk pola ornamen yang rumit.

[img] Pola spirograf

Contoh pola yang dihasilkan spirograf

(image credit: Wikimedia Commons)

Nah, proses kerja spirograf itu mempunyai padanan di dunia matematika. Sebuah lingkaran berputar dalam lingkaran, maka dia menghasilkan pola baru yang menarik. Pola itu kemudian diwujudkan berbentuk grafik.

Menariknya, semua berawal dari peristiwa yang umum: sebuah lingkaran menggelinding di garis lurus.

 
Dari Mana Datangnya Pola? Berkenalan dengan Cycloid
 

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat benda bergerak menggelinding. Misalnya ban mobil di jalan raya, bola sepak di lapangan, atau lain sebagainya. Di dunia matematika gerak menggelinding ini punya bahasan tersendiri. Dia dapat dianalisis menggunakan cycloid — secara kasar bisa diindonesiakan menjadi “jejak gelinding”.

Ilustrasinya seperti di bawah ini.

[img] cycloid

Animasi penggambaran cycloid

(image credit: Wikimedia Commons)

Dalam animasi di atas, garis merah menandai pergerakan titik di tepi lingkaran. Mirip dengan pentil ban mobil yang sedang berjalan — secara posisi dia berotasi sekaligus bergerak lurus. Oleh karena itu pola yang terbentuk merupakan “persilangan” di antara keduanya. Dibilang lurus, ya lurus; tapi dibilang berputar juga iya.πŸ˜›

Nah, sekarang kita melangkah lebih jauh.

Dalam animasi kita lihat lingkaran menggelinding di garis lurus. Sekarang ada ide bagus: bagaimana kalau garis lurus itu kita bengkokkan jadi lingkaran? Jadi menggelindingnya bukan lagi di garis lurus — lingkarannya akan menggelinding di dalam lingkaran!!πŸ˜€

Misalnya kita mempunyai lingkaran berjari-jari 1 meter, menggelinding di lintasan lurus sepanjang (kira-kira) 18 meter. Lintasan lurus itu lalu kita bengkokkan sehingga jadi lingkaran; hasilnya akan mirip animasi di bawah ini.

[img] deltoid

AAAAHHHHHH!!!!

(image credit: Wikimedia Commons)

 
Hypocycloid: Lingkaran dalam Lingkaran
 

Ilustrasi terakhir di atas menggambarkan sebuah hypocycloid, yaitu cycloid (“jejak gelinding”) yang terjadi dalam lingkaran. Nama itu datang dari bahasa Yunani hypo (“di bawah”/”dalam pengaruh”) + cycloid.

Dengan demikian, hypocycloid berarti cycloid yang terjadi dalam lingkaran. Sekarang kita akan membahas lebih jauh tentang hypocycloid.

Sebagaimana dapat diamati, sebuah sistem hypocycloid mempunyai lingkaran dalam lingkaran. Lingkaran yang besar kita sebut berjari-jari R. Sementara yang lebih kecil kita sebut berjari-jari r.

Perbedaan nilai R dan r ini akan menentukan bentuk pola yang muncul. Dalam animasi kita sudah melihat sebuah hypocycloid berkelopak tiga. Menjadi seperti itu karena nilai jejari R 3x lebih besar daripada r.

Panjang lintasan = 3x panjang gelindingan lingkaran. Oleh karena itu terbentuk cycloid dengan tiga “bukit”. Adapun karena lintasannya melingkar — maka cycloid jadi ikut berbentuk melingkar.

Lalu, bagaimana kalau nilai perbandingan R/r berubah? Simpel: jumlah kelopaknya juga ikut berubah!πŸ˜€

Misalnya untuk rasio R/r = 4, animasinya akan menjadi:

[img] hypocycloid k=4

Animasi hypocycloid untuk R/r = 4

(image credit: Wikimedia Commons)

Adapun untuk bilangan bulat lain, pola-polanya akan seperti di bawah ini.

[img] hypocycloids

Pola hypocycloid untuk berbagai nilai R/r

(image adapted from Wikimedia Commons)

Rasio antara R/r ini selanjutnya kita sebut k. Secara rumus dapat ditulis,

\dfrac{R}{r} = k

 
Bagaimana jika k = pecahan? Pola Tumpang-tindih
 

Sejauh ini kita sudah melihat hypocycloid untuk nilai k bilangan bulat. Jumlah kelopak yang terbentuk ternyata sama dengan k.

  • Apabila k = 3, maka jumlah kelopak = 3
  • Apabila k = 4, maka jumlah kelopak = 4
  • …dan seterusnya

 
Nah tapi ada pertanyaan. Bagaimana jika k bernilai pecahan?

Jawabannya… akan kita lihat di bawah ini.❓

Kita ambil contoh nilai k = 4,5. Tidak mungkin ada jumlah kelopak sebesar 4,5 — kan begitu? Oleh karena itu harus diproses lebih dahulu.

Apabila rasio k tidak bulat, maka harus dibuat menjadi bentuk pecahan sederhana. Dalam contoh kita terdapat k = R/r = 4,5. Maka kita modifikasi…

\dfrac{R}{r} = 4,5

R = 4,5 r

2R = 9r

\dfrac{R}{r} = \dfrac{9}{2}

 
Pecahan 9/2 di atas adalah bentuk paling sederhana. Selanjutnya dapat kita tulis R:r = 9:2.

Nah, pecahan ini mengakibatkan berubahnya proses menggambar. Prosesnya akan kita lihat bersama sebagai berikut.

Sebuah hypocycloid memiliki perbandingan R:r = 9:2

Oleh karena itu, lingkaran kecil dapat menggelinding 9 kali dalam 2 putaran, menciptakan 9 buah kelopak dalam 2 putaran.

 

[img] cycloid

Ingat proses dasarnya: setiap lingkaran menggelinding 1x, menciptakan 1 kelopak

 

Dalam 2 putaran terjadi 9 kali gelinding = tercipta 9 kelopak.

Akan tetapi, karena 9 kali gelinding dilakukan dua putaran, kurvanya jadi dua kali lebih panjang. Kurva cycloid pada k = 4,5 dua kali lebih panjang daripada jika k = 9. (lihat gambar di bawah)

Oleh karena dia harus membentuk 9 kelopak, tetapi kurvanya jauh lebih panjang, maka terjadi peristiwa unik: persilangan garis lengkung. Pola hypocycloid jadi saling memotong!😯

 

[img] hypocycloids comparison

Perbandingan hypocycloid: satu kali putar vs. dua kali putar.

(image adapted from Wikimedia Commons)

Di sini terlihat bahwa pada nilai pecahan k tertentu, akan terbentuk persilangan garis lengkung, menghasilkan pola yang rumit. Persilangan garis lengkung itu akan terjadi jika hypocycloid memenuhi syarat berikut:

\dfrac{R}{r} -1 > \dfrac{1}{r}

Pola persilangan akan makin rumit jika melibatkan angka-angka pecahan yang makin besar. Sebagai contoh 18/5, 23/3, dan sebagainya. Di bawah ini saya tampilkan sebagian ilustrasinya.

[img] hypocycloids for rational k

Berbagai hypocycloid untuk nilai k tidak bulat

(image adapted from Wikimedia Commons)

Adapun jika bilangan k bersifat irasional, sebagai contoh √2, maka dia akan menghasilkan pola yang mbulet dan tak-berujung. Tidak akan selesai digambar. Sebab bilangan irasional akan mengakibatnya terjadinya kelopak sejumlah tak-hingga. (Contoh gambarnya dapat dilihat di sini)

 
Kembali ke Awal: Hubungan Spirograf dengan Hypocycloid
 

Di awal tulisan saya menyinggung mainan spirograf. Mainan itu bekerja dengan prinsip lingkaran-bergerak-dalam-lingkaran. Sebagaimana sudah dilihat cara kerja itu memiliki padanan di bidang matematika.

Meskipun demikian, spirograf agak unik, sebab jika kita masukkan pensil ke roda gigi, posisi pensilnya tidak tepat di tepi lingkaran. Sedangkan pada hypocycloid kurva mengacu pada titik di tepi lingkaran. Jadi harus ada kompensasi supaya akurat.

Teknik kompensasinya adalah dengan menggeneralisir prinsip hypocycloid menjadi hypotrochoid. Sebuah hypotrochoid dapat menggambar pola dengan jari-jari apapun terserah kita. Di sini bedanya dengan uraian di atas. Nilai jari-jari hypotrochoid tidak perlu mengikuti nilai R, r, atau k. Bahkan kalau jari-jarinya keluar lingkaran pun tak masalah!πŸ˜›

Meskipun begitu kita tak akan membahas hypotrochoid di sini; saya yakin pembaca juga sudah lelah. Cukuplah jika dicontohkan penerapannya berupa animasi.

[img] hypotrochoid out k = 5/3

Animasi dengan jari-jari besar, k = 5/3

(image credit: Wikimedia Commons)

[img] hypotrochoid in k = 5/3

Animasi dengan jari-jari kecil, k = 5/3.
Yang ini prinsipnya dipakai dalam spirograf.

(image credit: Wikimedia Commons)

Menariknya dengan hypotrochoid, prinsip kerjanya relatif sama dengan hypocycloid. Ada kelopak, ada rasio k, dan bentuknya bisa rumit juga. Sebenarnya memang landasannya sama — yang membedakan cuma jari-jari spesial pilihan kita. Secara topologi sendiri bentuk yang mereka hasilkan serupa.

 
Penutup
 

Saya tahu, bahwasanya kalau menulis di blog, kemunculan rumus bisa membuat trauma. Tidak semua orang pernah mendapat matematika tingkat kuliah, jadi sebisa mungkin sebaiknya dihindari. Meskipun begitu kita di sini membahas matematika jadi… yah, di atas itu ada sedikiiit saja. Mudah-mudahan pembaca tidak keberatan.πŸ˜›

Meskipun demikian, mudah-mudahan penjelasannya tetap efektif. Sebab namanya matematika banyak sekali contohnya dalam hidup. Hanya saja, karena sering dijelaskan dengan persamaan abstrak, jadinya membuat orang malas. Akhirnya gagasan utamanya terlewat.

Ini bukan berarti rumus tidak penting — rumus itu sangat penting. Akan tetapi, bagaimana mendapat intuisi di balik rumus, itu dia yang lebih penting. Jika sudah terbayang, biasanya orang bakal ngeh di mana menariknya.πŸ˜€

Saya sendiri bukan orang Matematika, cuma suka mengamati kalau sedang senggang. Adapun penjelasan di atas sangat menyederhanakan dan tidak rigorous — jadi, harap maklum…

 

 
——

Referensi:

(buku)

    Lawrence, J.D. (1972). A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications

(online)

10 responses to “Fun with Math: Lingkaran dalam Lingkaran

  1. Ahmad Riyadinal Ricky Juli 11, 2014 pukul 9:59 pm

    seneng sekali setelah lama nggak dikunjungi akhirnya blognya aktif lagi..
    saya ngikutin blognya mas sejak jaman kuliah (sora9n), jarang ada blog indonesia yang ngupas populer sains kayak blognya mas..
    jangan putus nulisnya yah mas broπŸ˜€

  2. sora9n Juli 11, 2014 pukul 10:36 pm

    @ Ahmad Riyadinal Rizky

    Wah, pembaca lama? Terima kasih, senang mendengarnya. I feel honored.πŸ˜€

    Memang belakangan saya ngeblog lagi. Mulainya sejak posting Oppenheimer satu bulan lalu — terus beruntun sampai posting ini.

    jarang ada blog indonesia yang ngupas populer sains kayak blognya mas..
    jangan putus nulisnya yah mas broπŸ˜€

    Mudah-mudahan, yah.πŸ™‚

  3. ali sastro Juli 13, 2014 pukul 4:23 am

    wah akhirnya sebuah penjelasan; tapi saya skip rumus-rumusnyaπŸ˜›

  4. sora9n Juli 13, 2014 pukul 4:22 pm

    @ ali sastro

    Gak papa, yang penting dapat intuisinya. Rumus itu cuma wajib buat mahasiswa, dosen, insinyur, ahli statistik… dan berbagai makhluk sejenis lainnya.πŸ˜†

  5. asam Juli 13, 2014 pukul 4:57 pm

    Waduh, aku sampai lupa kalau sekarang lagi puasa. Karena ternyata otak ku lebih kosong dibanding perut dan libido. hiks

  6. sora9n Juli 13, 2014 pukul 9:39 pm

    @ asam

    Weleh…πŸ˜†

    Ya udah, kalo gitu ngabuburit di sini saja. Biar berisi lahir & batin.πŸ˜†

  7. Fortynine Juli 21, 2014 pukul 12:05 am

    saya sudah tak belajar matematika sejak tahun 2000. Jadi sudah jelas betapa pusingnya saya ketika ketemu rumus… Satu2nya rumus (kalau juga layak disebut rumus) yang masih d amalkan adalah perkalian, itupun karena tuntutan pekerjaan

    ” Hanya saja, karena
    sering dijelaskan dengan persamaan abstrak, jadinya
    membuat orang malas. Akhirnya gagasan utamanya
    terlewat”

    nah ini, tantangan buat tenaga pengajar sains…bukan cuma para pengajar matematika kalau menurut saya

  8. sora9n Juli 21, 2014 pukul 4:29 pm

    @ Fortynine

    Wah ada mas Farid! Lama tak jumpa…πŸ™‚

    nah ini, tantangan buat tenaga pengajar sains…bukan cuma para pengajar matematika kalau menurut saya

    Betul — dan kadang melakukannya tidak mudah. Kalau terlalu sederhana, jadinya gak akurat. Tapi kalau terlalu detail… pembacanya yang takut.πŸ˜† Harus pintar menyeimbangkan.

  9. finela April 6, 2015 pukul 12:32 pm

    Lagi-lagi nemuin seni dan math melebur. nice posting. thanks

  10. sora9n April 6, 2015 pukul 4:45 pm

    @ finela

    Lagi-lagi nemuin seni dan math melebur.

    Yup, sebenarnya memang dua hal itu sering berhubungan.πŸ™‚

Posting komentar. Apabila tidak muncul, ada kemungkinan tersaring filter spam. Harap tunggu pemilik blog untuk mengecek dan melepaskan.

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: