Fun with Math: Berkenalan dengan Fraktal

Sambil memulai tulisan ini, mari kita gambar sebuah segitiga.

(Wikimedia Commons)

Lalu di setiap sisi segitiga itu, kita tambahkan bentuk segitiga yang sama. (Ukuran dibuat lebih kecil)

(Wikimedia Commons)

Proses ini terus kita ulangi. Di setiap sisi kita tambahkan segitiga lagi…

(Wikimedia Commons)

…dan lagi…

(Wikimedia Commons)

…dan lagi. Hasil akhirnya akan jadi seperti berikut:

(Wikimedia Commons)

Dari yang tadinya cuma segitiga, kini jadi bentuk yang kompleks. Bentuk ini seolah mirip bunga salju yang mendetail. Hebat bukan? 😀

Nah, yang baru kita gambar di atas itu disebut sebagai fraktal. Fraktal adalah bentuk geometri yang dibangun lewat instruksi sederhana tapi berulang. Semakin banyak perulangan maka semakin detail gambar yang dihasilkan.

Adapun di dunia matematika, “bunga salju” di atas dinamai “Bunga Salju Koch“. Akan tetapi Bunga Salju Koch bukan cuma satu-satunya. Ada banyak jenis fraktal lain yang bisa digambar.

Tentunya kemudian timbul pertanyaan. Kok bisa sih ada cara menggambar seperti itu?

 
Sebenarnya, Apa itu Fraktal?
 

Secara matematika, definisi fraktal agak rumit, dan kurang cocok untuk pembaca umum. Oleh karena itu berikut ini saya rangkum dalam bahasa Indonesia.

Sebuah gambar dapat disebut fraktal jika memenuhi syarat:

 
a) Identik untuk setiap level perbesaran (zoom)

Bahasa populernya, di-zoom berapa kali pun penampakannya akan mirip. Dalam bahasa matematika disebut self-similarity.

Contohnya lewat animasi berikut — biasa disebut Segitiga Sierpinski. Sebuah segitiga yang di dalamnya terdapat segitiga, lalu di dalamnya segitiga lagi… (dan seterusnya)

Animasi zoom-in Segitiga Sierpinski

(image credit: Wikimedia Commons)

 
b) Garis gambarnya tidak mulus (tidak terdiferensiasi)

Yang ini bisa dijelaskan lewat grafik. Misalnya contoh berikut.

Fungsi Weierstrass

(image credit: Wikimedia Commons)

Dalam grafik di atas, dapat dilihat bahwa biarpun garis menyambung tetapi dia tidak mulus — selalu patah di sana-sini. Sifat yang sama dimiliki oleh fraktal. Sebagai contoh Bunga Salju Koch. Biarpun garisnya menyambung akan tetapi sambungannya tidak mulus.

(Dalam bahasa matematika disebut “kontinu tapi tak terdiferensiasi”)

 
Di sisi lain, ada juga fraktal yang garisnya tidak bersambung dan tidak mulus. Dengan kata lain garisnya putus-putus. Secara matematika disebut “tidak kontinu dan tidak terdiferensiasi”.

Fraktal putus-putus contohnya himpunan Cantor. Himpunan Cantor mempunyai aturan: gambar sebuah garis, bagi tiga, dan hilangkan tengahnya. Hasilnya jadi seperti berikut.

Himpunan Cantor

(image credit: Wikimedia Commons)

 

c) Mempunyai dimensi fraktal

Yang satu ini agak rumit, meskipun begitu, intinya kira-kira seperti berikut.

Pada umumnya kita tahu angka dimensi berupa bilangan bulat, yakni garis (1 Dimensi), bidang (2 Dimensi) dan ruang (3 Dimensi). Meskipun demikian dimensi fraktal memiliki keunikan: bilangannya bersifat pecahan. Sebagai contoh Bunga Salju Koch yang kita gambar, dimensi fraktalnya sebesar 1,2619 (jika dihitung dengan rumus).

Mengapa bisa begitu? Ini karena — kalau ditelusuri secara matematik — sebuah fraktal berada pada dimensi “perantara”. Bunga Salju Koch terdiri atas sebuah garis (1 Dimensi). Akan tetapi kalau detailnya di-zoom, terlihat bahwa garis-garis itu saling bertumpuk, menandakan bersilangan di bidang dua dimensi. Oleh karena itu Bunga Salju Koch mempunyai dimensi antara 1 dan 2, yakni 1,2619.

(penjelasan lebih detail dapat dilihat di: dimensi fraktal dan dimensi Hausdorff)

* * *

Kira-kira demikian penjelasan tentang fraktal. Tentunya amat menyederhanakan dan tidak teknis. Meskipun begitu harusnya cukup untuk menunjukkan, bahwa dari sebuah instruksi sederhana, bisa terbentuk pola yang rumit. Lebih jauh lagi: pola yang dihasilkan amat detail sehingga dapat diperbesar dan tetap tajam.

 
Fraktal di Lingkungan Alam
 

Uniknya, biarpun fraktal itu matematika murni, banyak peristiwa alam yang bersifat mirip fraktal. Contoh yang terkenal misalnya petir. Sebuah petir memiliki percabangan yang mendetail — sedemikian hingga tampak identik pada skala besar maupun kecil.

Petir tampak mirip (self-similar) pada skala besar maupun kecil.

(image adapted from: Wikimedia Commons)

Contoh lain yang mengena adalah urat daun. Perhatikan bahwa polanya mirip pada skala lebih kecil.

Pola jaringan pembuluh pada daun ara (fig).

(photo credit: Flickr / i5a)

Ada juga spesies brokoli yang unik…

Katanya sih, ini brokoli asli Roma. (Benarkah?)

(photo credit: Flickr / Aurelien Guichard)

Adapun dalam skala besar, obyek geologi juga bersifat mirip fraktal. Misalnya foto berikut: menunjukkan garis pantai yang dipotret dari udara.

Garis pantai Greenland dipotret dari udara.

(photo credit: Wikimedia Commons)

Luar biasa bukan? Biarpun berangkat dari matematika murni akan tetapi pola fraktal mempunyai perwujudan di alam. Memang matematika itu ilmu yang membicarakan tentang pola — baik itu pola bilangan, pola geometri, hingga yang rada njelimet seperti pola statistik. Akan tetapi itu cerita lain untuk saat ini. 🙂

 
Penutup: Kerumitan dari Kesederhanaan
 

Salah satu hal yang berkesan dari fraktal, kalau boleh dibilang, adalah prinsip “kerumitan dari kesederhanaan”. Pada mulanya ada sebuah instruksi yang kita pilih. Lalu instruksi itu kita jalankan berulang-ulang. Pada akhirnya semua perulangan itu berinteraksi satu sama lain, menghasilkan gambar yang detail — atau bahkan artistik.

Mengenai yang terakhir ada baiknya diberi contoh. Di bawah ini adalah karya seni fraktal yang dibuat seorang user Wikipedia.

Salah satu contoh fractal artwork

(image credit: Wikipedia / User:Garden)

Sekilas terlihat gambarnya bagus. Akan tetapi menariknya: instruksi pembuatannya cukup pendek. Hanya tiga baris mendefinisikan koefisien ini-itu, selanjutnya menentukan warna. Akhirnya didapat gambar yang cukup artistik.

Hanya dengan mengutak-atik instruksi, sebuah bentuk yang kompleks dapat dihasilkan. Simple yet impressive.

Bukan berarti fraktal itu sederhana, sih. Sebagaimana sudah disinggung, matematika yang terlibat di dalamnya sangat rumit. Akan tetapi itu urusannya para ahli — tidak berhubungan dengan tulisan ini. Jadi bolehlah kita lewatkan… 😆

 

——

Referensi:

 
Addison, P.S. (1997). Fractals and Chaos, an Illustrated Course. London: IOP Publishing.

Mandelbrot, B.B. (1977). The Fractal Geometry in Nature. New York: W.H. Freeman & Co.